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一道数学难题

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发表于 2025-10-2 21:20:21 | 显示全部楼层 |阅读模式
存不存在定义在上的函数,使严格递增,严格递减。
这道题由笃行二班某同学推荐而来,查寻得其出自第四届罗马尼亚数学硕士竞赛,答案原文见文末。

解:
对于,定义区间



于是全体实数就可以写成与上述区间的并集,即

在数轴上把画出来,可以看出,是交替出现,并且的长度是的2倍,的长度是的2倍。
接下来定义函数

然后取
则当时,


时,


时,,故
综上,对任意,有

所以f(g(x))是减函数,g(f(x))是增函数.




2011_rmm_resenja_e.pdf

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竞赛答案原文(英语)

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