一道数学难题

admin · 发表于 2025-10-2 21:20:21

存不存在定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x),g(x)$ ,使 $f(g(x))$ 严格递增， $g(f(x))$ 严格递减。
这道题由笃行二班某同学推荐而来，查寻得其出自第四届罗马尼亚数学硕士竞赛，答案原文见文末。

解：
对于 $k\in\mathbf{Z}$ ，定义区间

$I_k=[-2^{2k+1},-2^{2k})\cup(2^{2k},2^{2k+1}]$
$J_k=[-2^{2k+2},-2^{2k+1})\cup(2^{2k+1},2^{2k+2}]$
于是全体实数 $\mathbf{R}$ 就可以写成 $\{0\}$ 与上述区间的并集，即
$\mathbf{R}=\{0\}\cup\bigcup\limits_{k\in\mathbf{Z}}(I_k\cup J_k)$
在数轴上把 $I_k$ ， $J_k$ 画出来，可以看出 $I_k$ , $J_k$ 是交替出现，并且 $J_k$ 的长度是 $I_k$ 的2倍， $I_{k+1}$ 的长度是 $J_k$ 的2倍。
接下来定义函数
$f(x)=\left\{\begin{aligned} &x, &&x\in I_k, k\in\mathbf{Z}, \\ &-x, &&x\in J_k, k\in\mathbf{Z}, \\ &0, &&x=0. \end{aligned}\right.\\$
然后取 $g(x)=2f(x)$ ．
则当 $x\in I_k$ 时， $g(x)=2x\in J_k$ ，
$f(g(x))=f(2x)=-2x$ ，
$g(f(x))=g(x)=2f(x)=2x$ ；
当 $x\in J_k$ 时， $g(x)=-2x\in I_{k+1}$ ，
$f(g(x))=f(-2x)=-2x$ ，
$g(f(x))=g(-x)=2f(-x)=2x$ ．
当 $x=0$ 时， $f(x)=g(x)=0$ ，故 $f(g(x))=g(f(x))=0$ ．
综上，对任意 $x\in\mathbf{R}$ ，有
$\begin{aligned} f(g(x))&=-2x, \\ g(f(x))&=2x. \end{aligned}\\$
所以f(g(x))是减函数，g(f(x))是增函数.

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